הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) ( ) = ( ( )) x x x = x יהי c C מכיוון ש ב a כךש פונקציה על קיים ומכיוון ש פונקציה על קיים a = a = b = c a : C = b מסקנה אם :, : C פונקציות חח"עועלאז ההפך לא בהכרח נכון למשל: = 6,7 C =,, = 3, 4,5, מוגדר ע"י גם חח"ע ועל 3 = 6, 4 = 5 = 7 : C { } { } { } = 3, : מוגדרע"י = 4 : C נקבל ש היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י ( ) ( ) ( ) ( ) ( מכיוון ש היא פונקציהאז )) ( ( = ) ( )( x ) = ( ( x )) = ( ( x )) = ( )( x ) x x ( ) = = 3 = 6, = = 4 = 7 x = x אם :, : C הן פונקציות, אז: היא חח"ע, אז חח"ע א אם היאעל היאעל,אז ב אם ( x ) = ( x,x כך ש ) x א יהיו ועל פי הגדרת ההרכבה נקבל ש ב ומכיוון ש יהי היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת ( a) = b היאעלאזקיים a כך ש a = c ( a) מכיוון ש c C ( ) ההרכבה a = c כך ש שימו לב: ולכןעבור c C כלשהו קיים X I a = a a X ( b) = c -פונקציתהזהות פונקציה I : X X נקראת פונקציתהזהות אםלכל I = I = ו X אם : פונקציהאזי נוכיח תחילה ש I =
נראה שהתחום והטווח של שתי הפונקציות זהה, : I : על פי הגדרת ההרכבה הפיכה אםקיימת פונקציה : ( I )( a) = I ( ( a) ) = ( a) I = : I : יהי a אז באותו אופן ניתן להראות ש, קבוצות ותהיי תהיינה פונקציה הפונקציה הפונקציה תקרא הפונקציה ההופכיתשל ותסומןע"י = I = I כךש תהיי : פונקציה הפיכההפונקציה ההפיכה של יחידה b אז: נניח שהפונקציות :, h : הן ההופכיותשל יהי ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) b = I b = h b = h b = h b = h I b = h b חח"ע ועל הפיכה אם ורק אם תהיי : הפונקציה = I = I הפיכהולכן קיימת פונקציה : כך ש נתון ש = I = I מכיוון ש מכיווןש נתון ש נקבל ש נקבל ש חח"ע ומ קודם על על ומ קודם חח"ע { } b מכיוון ש חח"ע ועל נגדיר פונקציה : יהי היותר איבר אחד ב ז"א בקבוצה b על φ ומכיוון ש קיים איבר אחד ויחיד נסמנו ב חח"ע קיים לכל a b { b} { b} { b} = ab b קיים איבר אחדויחידב הפונקציה מוגדרת היטב מכיוון שלכל b נוכיח שהפונקציה : היא ההופכית של הפונקציה ( )( ab ) = ( ( ab )) = ( b) = ab a = a b ( ) = I ( a) יהי a נסמן = b ואז ( b ) יהי b ואז b = b = a = b כך ש אז לא בהכרח ש הפיכה ולא בהכרח ש ע"י = 6 5 =, ו : = I אם : וקיימת פונקציה : ההופכית שלה =,,3, = 5,6 { } { } נגדיר : אינה חח"ע ו ע"י = 5 3 = 5, = 6, אינה על ולכן שתיהן לא הפיכות למרות ש I הסיבה:
: C, : C ויהיו, הרחבהוצמצוםשלפונקציות,, קבוצות לא ריקות כך ש יהיו C x מתקיים ל היא צמצום של פונקציות כך שלכל היא הרחבה וש, וש בתנאיםאלה אומרים ש ( x) = ( x) = הסימוןיהיה ל של אם קיימת כך ש היא צמצום של כך ש תהיי ל, נאמר ש היא צמצום של אז היא הרחבה של היא צמצום של ( x) = [ ) ותהיי : 0, R כך ש x R 4 = x x : R R ל היא הרחבה של ו ל (,0 [ צמצום של פונקציה לקבוצה חלקית נתונה הוא יחיד,לעומתזאת הרחבה לקבוצה נתונה אינה יחידה תהיי : 0, R פונקציה,כך ש x = x [ ) : R R x = x : R R x = x שתי הפונקציותהן הרחבה של ל הרחבה של ל R, R ואלו רק שתי דוגמאותמתוך אינסוף דוגמאות לפונקציות שהן ], אין פונקציה 0, ) של : R R [ ) נשים לב שהפונקציה :,0 R היא צמצום של הפונקציה ל [ 0, ) : R R ל נוספתשהיא צמצום נוספת תהיי U קבוצה לא ריקהלכל תת קבוצה של U הפונקציה האפיינית של היא הפונקציה χ x ( x χ מוגדרתע"י : U ) = { 0,} 0 x = φ או היא פונקציה קבועה אם ורק אם χ, אז אם U 0, χ : אם אז לכל x מתקיים x ולכןלכל χ x = x וקיבלנו = χ וקיבלנו 0 x 0 אזלכל x מתקיים x ולכןלכל { } פונקציה קבועה אם = φ φ ואם χ x = פונקציה קבועה שימו לב אם לאמוכל ב אז קיים x \ ואז = ) x χ ( ז"א הפונקציהלא קבועה אז קיים x ולכן דוגמאותלפונקציותכאשרהתחוםהיאקבוצתמנה ראינו שהיחס {a מחלק את R = { a N 3 הוא יחס שקילותמעל הטבעיים ]) ([ תהיי ([ ]) ([ ]) יהיו ] [ ([ ]) = ( mod 3) +, ([ ]) = ( mod 3) + להגדרת פונקציה a ( mod 3) + = b( mod 3) + a ( mod3) = b( mod3) : N כך ש x = x mod 3 + יש להראות שאכן הפונקציה מוגדרת היטב R N,a צריך להוכיחש a = b כי אחרת הקבל שלמקור אחד יש שתי תמונות בסתירה b x נקבל ש מכיוון ש 3 a b a a b b סדרות כדרוש
יהיו קבוצה כלשהי ו מספר טבעי סדרה באורך של איברי היא פונקציהמ K, כאשר ל I { N } K = k k סדרה אינסופית של איבריםמ היא פונקציהמ N ל דוגמאות ) ( היא סדרה באורך 7 : K7 המוגדרתע"י = אז K7 = { k N k 7} =Q 7) ( ( ) =, ( ) =,, ניתן לרשום בקצרה,,, המקיימת = 7 7 ( ( היא סדרה אינסופית =Q ו : N פונקציה המוגדרתע"י = עוצמות, קבוצותסופיות ו = אז קיימת פונקציה חח"ע מ על ולהפך ראינו שאם בקבוצות סופיות ניתן לספוראת האיברים בקבוצה, דבר שלא ניתן לעשותבקבוצות אינסופיות מטרתנו לבחון האם קיימת פונקציה חח"עועל עבורשתי קבוצות אינסופיות למשל: קיימת פונקציה חח"ע ועל מקבוצת הטבעיים לקבוצת השלמים ) ( אם אי זוגי : N Z באופן הבא: = ) ( אם זוגיו = אנחנו נראה בהמשךשלאקיימת פונקציה : N R שהיא חח"ע ועל והסימון יהיה, שקולהל נאמר ש על קבוצות אם קיימת פונקציה חח"ע מ, יהיו השקילות היא רפלקסיבית, סימטרית וטרנזיטיבית פונקציתהזהותעל היאחח"ע ועל, ולכן אזקיימת פונקציה : שהיאחח"ע ועל, ולכן קיימתלה פונקציה הופכית אם שהיא גםכן חח"ע ועל,ולכן : אז קיימות פונצקיות חח"ע ועל : C, : ולכן 3 אם C C חח"ע ועלז"א : C נאמר על שתי קבוצות שקולות שהן שוות עוצמה = העוצמההיא הכללה של "מספר האיברים" לקבוצה שאינה דווקאסופית המלוןשלהילברט נציגאת המלון של הילברטכדי להמחיש את השקילותביןקבוצות אינסופיות המלון של הילברטהוא אינסופי, באחד מהימים (בשיא העונה)הייתה תפוסהמלאה במלון אחד האורחים ביקשמפקיד הקבלה להשכיר לחברו חדר,מכיוון שהוא החליט ברגע האחרון להצטרף לנופשפקיד הקבלה ענהלאשהענייןלא אפשרימכיוון שהמלון בתפוסה מלאה המנהל שמעאת השיחה והציע פתרון האורחים החדר מספר יעבור לחדר מספר, האורחים בחדר מספר יעברו לחדר מספר 3 וכן הלאה בצורה כזאת נפנהאת חדר מספר ולחבר של האורח יהיה מקוםפנוי למחרת הגיע אותו אורח לפקיד הקבלה וביקשלפנותלו אינסוף חדרים לאינסוף החבריםשלו שמגיעים מחר (אורח מאוד חברותי) הפקיד חששמהמנהל והתחיל לחשוב על פתרון לעניין, אחרי מספר דקות חזרהפקיד
עם רעיון האורח שנמצא בחדר מספר יעבור לחדר מספר (ז"א האורח בחדר מספר יעבור לחדר מספר, האורח בחדר מספר יעבור לחדר מספר 4, האורח בחדר מספר 3 יעבור לחדר מספר 6 וכו,) בצורה כזאתהתפנו אינסוף חדרים לאינסוף החברים של האורח קבוצהבתמנייה קבוצה נקראת בת מנייה אםהיא סופית,אושקולהל (ℵ 0 N (סימון לקבוצה אינסופית שהיאבת מניה ראינו שקיימת פונקציה חח"ע ועל מקבוצת הטבעיים לקבוצת השלמים ) ( אם אי זוגי : N Z באופן הבא: = ) ( אם זוגיו = ( Z = ℵ 0 ולכן N שקולהל Z ז"א Z בתמניה (או בכל קבוצהלא ריקה של מספרים טבעייםיש איבר קטןביותר נוכיח שלכל תתקבוצה שלN, שאיןבה איבר קטן ביותר היא ריקה תהיי N,ונניח שאיןב איבר קטן ביותר נוכיח באינדוקציה שאםאיןב איבר קטן ביותראז = φ אזהוא הקטןביותרולכן מכיווןשאין מספר טבעי קטן מ אז אם נניח ש וכל המספרים הקטנים ממנו אינםב ונוכיח ש + וכל המספרים הקטנים ממנו אינםב מספר קטןמ + הוא או אחד המספרים הקטניםמ, על פיהנחת האינדוקציה הםלאב + לאב מכיוון שאם הואהייה ב אזהוא הייה המספר הקטן ביותרב וזו סתירה להנחה שאין איבר קטן ביותרב כל קבוצה חלקית לקבוצה בת מנייההיאבת מנייה נוכיח,תחילה,שכל תת קבוצה של N היאבתמנייה תהי תת קבוצה של N אם סופיתהיאבת מנייהעלפי ה של קבוצהבת מנייה אם אינסופית נמצא פונקציה : N שהיאחח"ע ועל x : N < x x )תהיי לכל x הקבוצה הפונקציה הבאה: x} { y y היא סופית (מספרם הוא לכל היותר ( x) = { y y x} ( x ) = ( x ז"א x, כךש ) x חח"ע נניח ש : N x} { y y x} = { y y נניח בשלילהש x x אז ניתן להניח בהגכש מכיוון ש x < x אז x} { y y x} { y y ) x} { y y x} { y y מכיוון ש } { } { { y y x} { y y x} ז"א { y y x} { y y x} \{ x} { y y x} = { y y x} ( y x y x x < x ולכן נוכיח ש נוכיח ש היא על ז"א צ"ל שלכל יש מקור x y y x x y y x אז בסתירה לכך ש ( a 0 ) = a 0 N נוכיח באינדוקציה אינסופיתולכן φ ז"א ישלה איבר ראשון ואז
נניח שיש מקורל N כל שהו ונוכיח של + יש מקור אינסופיתוקבוצת איברי שאינםעולים על a היאסופית,לכן קבוצת איברי הגדוליםמ a אינה ריקה,יהי b הראשון שביניהםואז b = + על תהיי קבוצה בתמנייהכלשהי, אם סופית,כל תת קבוצה שלהסופית, ולכןבתמנייה אם אינסופית,אז שקולהל N תהיי תתקבוצהשל ונוכיח שהיאבת מניהתהיי פונקציהחח"עמ [ ] ולכן היאבתמנייה הפונקציה :,כךשלכל x על ] [,לכן שקולה לקבוצה בת מנייה ולכן היא בת מנייה [ ] N,אז N x) ( x) = (,היא חח"ע מ האלכסוןשלקנטור N N = N לכלזוג סדור נתאים איבר טבעיבאופן הבא:,,,,,3,, 4 3 6 0 (, ),(, ),(,3) 5 9 ( 3, ),( 3,) 4 8 ( 4,) 7 קיבלנו את הסדרה הבאה:,,,,,, 3,,,,,3, ) ( נשים לב שהסדרה מוגדרת באופן הבא:תחילה נספרים האיברים שסכום השיעוריםהוא, אח"כ נספרים האיברים שסכום השיעוריםהוא 3, וכן הלאה נבנה פונקציה שמתבססת על החוקיות הנ"ל מספר האיבריםשסכום השיעורים של הוא שווהל ולכן המיקום של האיבר הראשון שסכום השיעורים ( + )( ) 3 + 4 + ( + + 3 + ( ) שלו הוא : = + = ) כעת השיעור הימני של האיבר במקום ה k,שסכום שיעורי איבריוהוא, הוא k ( a, b) = (( a + b) 3( a + b) + ) ולכן הפונקציההיא : N N N כךש + b (,3) = (( + 3) 3( + 3) + ) שימו לב: = 9 3 + מהבנייה ניתן לראות שהפונקציה היאחח"ע ועל מסקנה היא גםבת מניה קבוצותבנותמנייהאז הקבוצה, אם תהיינה : N, : N פונקציות חח"עועל h, (, ) = (, ) נגדיר פונקציה h : N N ע"י h a b a b חח"ע ועל ומכיווןש מסקנה Q בת מנייה בת מנייה בתמנייה גם מכיוון ש חח"ע ועל אז גם N N
שבר מצומצם) אינסופית המוכלת Q בת מנייה a b [ Q] a ו b > 0 (כאשר = ( a, b) באופן הבא: : Q Z נגדיר פונקציה N b הפונקציה חח"עולכן הפונקציה :' Q Q היא חח"ע ועל מכיוון ש [ ] ': Q Q [ ] [ Q] Z אז בקבוצה בת מנייה N בת מנייה ומכיוון ש חח"ע ועל גם